对一道三角函数最值问题的解法研讨，小议一题多解

一道三角函数最值问题的四个求解视角

湖北省阳新县高级中学      邹生书

这是微信朋友在给读市级重点高中的子女辅导数学时遇到的一道解决不了的难题，向编者请教如何求解。本题看起来简单，做越来才知道并不那么容易，静心思考有如下几个解题视角，现将思路与解法整理出来与读者朋友交流分享。

视角1：用三角函数图像单调性求解

评注：本题直接用正弦函数的图像单调性求解是非常基本的方法，但步骤较多过程繁琐，对基础知识掌握的要求较高。另一方面，不少同学重结果轻过程，只记住了辅助角公式，而忽视了公式的推导过程，导致对解法理解不全面不透彻，对步骤细节关注不够把握不住，最终使得解题受阻而无法完成解答。视角2构造向量与圆弧数形结合，灵活运用向量数量积的坐标运算和定义进行运算推理，解法形象直观富有创造性。视角3一次求导用单调性求解运算量小，简单快捷。视角4二次求导用函数凹凸性求解运算量更小，解法更高等。由此，我们要特别注意导数工具在求最值问题的重要作用，有时可作为首先解法。

三角函数法基础，向量解法直观，一阶导数简捷，二阶导数高等。三角函数的图像与性质是最为基础的知识点，同时也学生学习的难点和重点。有时越是基础的东西学习起来越是困难，三角函数的图像与性质就是这样的既基础又难学难掌握的知识。

【编者按】上面的文章编辑好后，编者将题目发到编者所创建的了两个数学解题交流群，看群里朋友会怎么思考这个问题，还有哪些编者没有想到的解法。其中二群讨论活跃，这里选录上文中没有想到的解法整理如下，与读者朋友一起学习分享。

霍忠林老师的解法图片如下：

另一大群主要讨论一题多解的必要性和意义。

有朋友提出： 一味的求多解，是不是很容易把学生搞糊涂？觉得对于本题有辅助角就可以了，止于此就行，没必要简单问题复杂化。

  笔者所求的多解是:想得的思路，学得会的解法！

一题多解，可将知识融汇贯通，有助于培养思维的变通性灵活性和多样性，有利于培养良好的思维品质。有些解法还富有创造性，这有助于创造意识的形成。一多解，可以开阔眼界，以后遇到类似的问题，可以选择自己熟悉的易于掌握的方法解决问题。

万雄飞老师认为:一题多解，从不同角度分析问题;多解归一，提练其中的共同点;多题归一，总结所缊含的数学思想。解题不是为解题而解题。数学是思维的体操。

刘小琴老师认为:从多种角度看问题，培养学生的思维能力，从长远发展来看，势在必行！

如果一题只教一法，那就把数学教死了，怎么教学生学会思考，怎么培养思维能力，又何谈创新？

一题多解不是追求解法多，而是通过多解培养思维能力，提供解题能力。

欢迎读者朋友参与讨论，提出对一题多解的想法和建议。

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